[재미있는수학교실]4개의 동전은 모두 몇번 만에 반대로 뒤집어질까

동전 뒤집기 놀이에 최소공배수 개념이…

나른한 봄날, 점심식사 후에 몰려오는 졸음은 세상에서 가장 무거운 것은 눈꺼풀이라는 사실을 증명한다. 이럴 때 잠시 주머니 속에 잠자는 동전을 활용해 춘곤증을 날려보면 어떨까?
◆동전 뒤집기 놀이
(1)동전(십원, 오십원, 백원, 오백원이 섞여도 무관) 4개 모두 앞면이 보이도록 원 모양으로 늘어놓는다.
(2)연이어 놓인 3개의 동전을 뒤집어 원래 상태와 반대로 만든다.
(3)(2)의 과정을 계속하여 모든 동전이 처음 상태와 반대가 되도록 만든다.
최소 몇 번 반복해야 동전을 모두 반대 상태로 만들 수 있을까? 위와 같은 순서로 뒤집으면 최소 4번 만에 동전의 상태를 반대로 만들 수 있다.
놓인 동전이 5개, 6개, 7개인 경우에도 똑같은 방법으로 놀이를 해 보자. 최소 몇 번 만에 모든 동전의 상태를 반대로 만들 수 있을까? 동전이 5개면 5번, 6개면 2번, 7개면 7번 만에 동전의 상태를 반대로 만들 수 있다.
어떤 규칙이 있는 것은 아닐까? 이 놀이 뒤에는 최소공배수 개념이 숨어 있다.
놓인 동전이 4개일 때, 한꺼번에 3개씩 뒤집는 경우를 생각해 보자. 모든 동전의 면이 일치하기 위해서는 놀이가 끝날 때까지 동전을 뒤집은 총 횟수가 최소 4와 3의 최소공배수인 12번이어야 한다.

이때, 각 동전은 〈식1〉번씩 상태가 바뀌게 되고(앞→뒤→앞→뒤), 최소 〈식2〉번 만에 모든 동전의 상태를 반대가 되게 할 수 있다. 놓인 동전이 15개이고, 한꺼번에 3개씩 뒤집는 경우는 어떨까?
15와 3의 최소공배수가 15이므로 모든 동전은 〈식3〉번씩 상태가 바뀌게 되고(앞→뒤), 최소 〈식4〉번 만에 모든 동전의 상태를 반대가 되게 할 수 있다.
놓인 동전이 몇 개든, 한꺼번에 뒤집는 동전의 개수가 몇 개든 모두 동전의 상태를 반대가 되게 할 수 있는 것일까?
놓인 동전을 2개씩 또는 4개씩 한꺼번에 뒤집으면 어떻게 될지 생각해보면서 이 문제의 답을 찾아보자.
(1)놓인 5개의 동전을 2개씩 뒤집는 경우
5와 2의 최소공배수가 10이므로 〈식5〉번씩 상태가 바뀌게 되고(앞→뒤→앞), 최소 〈식6〉번 만에 동전의 상태를 반대가 되게 할 수 있다.
하지만 뭔가 이상하다. 2번씩 상태가 바뀌게 되면 원래 상태로 되돌아가는 것이 아닌가? 따라서 이 경우 절대로 동전의 상태를 반대가 되게 할 수는 없음을 알 수 있다.
실제로 동전을 뒤집어보면 모든 동전의 면이 일치하면 원래상태와 똑같아지는 것을 확인할 수 있다.
(2)놓인 7개의 동전을 4개씩 뒤집는 경우
7와 4의 최소공배수가 28이므로 〈식7〉번씩 상태가 바뀌게 되어(앞→뒤→앞→뒤→앞) 절대로 동전의 상태를 반대가 되게 할 수는 없다.
결국 동전의 상태를 언제나 반대로 놓이게 할 수 있는 것은 아니라는 것을 알 수 있다. 즉, 동전의 개수(m)와 한꺼번에 뒤집는 동전의 개수(n)의 최소공배수를 k라 할 때, 〈식8〉이 됨을 알 수 있다.
이제 우리는 놓인 동전이 몇 개든, 한꺼번에 뒤집는 동전의 개수가 몇 개든 직접 뒤집어보지 않고도 동전의 상태를 반대가 되게 할 수 있는지 없는지, 있다면 최소 몇 번 만에 할 수 있는지 알 수 있다.
놓인 동전이 54개일 때, 8개씩 뒤집으면 〈식9〉이므로 동전의 상태를 반대로 할 수 없고, 10개씩 뒤집으면 〈식10〉이므로 동전의 상태를〈식11〉번 만에 반대로 놓이게 할 수 있다. 시작은 놀이지만 그 끝은 수학이 될 수 있다.