[논술 A to Z] 골치 아픈 수리논술… 자주 출제되는 단원은

공부할 시간 어느 정도 남았다면 미적분 점검 필수

  ◆기출문제

제시문 〈1〉

함수 f(x)가 실수 a에 대하여 다음 조건을 만족하면 함수 f(x)는 x=a에서 연속이라고 한다.

(1) x=a에서 정의되어 있고

(2) lim _x→af(x) 가 존재하며

(3) lim _x→af(x) = f(a) 이다.
 

예(1)

예(2)

제시문 〈2〉

함수 y=f(x)에서 예(1)이 존재하면 함수 y=f(x)는 x=a에서 미분가능하다고 하고, 이 극한값을 함수 y=f(x)의 x=a에서의 미분계수라 하며, 기호로 f’(a)와 같이 나타낸다. 

제시문 〈3〉

함수 y=f(x)가 정의역 X에서 미분가능하면 정의역에 속하는 모든 x에 대하여 미분계수 f’(x)를 대응시키는 새로운 함수 f’:x→f’(x) 즉, f’(x)=예(2)가 존재한다. 이때, 함수 f’(x)를 f(x)의 도함수라 한다.

제시문 〈4〉

f(x)=x|x| 라고 하자.

문제

1. 제시문 〈4〉에서 주어진 f(x)는 x=0에서 미분가능함을 논술하시오.

2. 제시문들을 이용하여 f(x)의 도함수 f’(x)를 구하시오.

3. 제시문들을 이용하여 함수 f’(x)의 x=0에서의 연속성을 조사하시오.

4. 제시문들을 이용하여 함수 f’(x)의 x=0에서의 미분가능성을 조사하시오.

-2014학년도 성균관대학교 모의논술-

어느덧 8월 중순이 지나 수시 접수와 대학수학능력시험이 코앞에 다가왔다. 수험생들과 학부모들의 마음은 점점 급해지지 시작할 것이다. 대학수학능력시험 대비도 해야 되고, 논술도 준비해야 하는데 공부할 양은 너무나 많고 시간은 부족하다. 특히, 수리 논술의 경우 어디서부터 어떻게 공부를 해야 할지 감이 잡히지 않는다는 것이 가장 큰 문제이다. 만약 수리논술이 일주일도 채 남지 않은 상황이라면 다 집어치우고 우선적으로 최근 기출문제를 풀어봐야 할 것이다.

그러나 어느 정도 시간이 남은 시점에서 수리논술 공부를 하고 싶은데, 기출문제만 푸는 것 말고 중요한 개념이나 단원이 있고 그 단원을 좀 더 공부해보고 싶은 학생이 있다면 주저하지 말고 미적분을 공부하라고 얘기해주겠다. 그만큼 수리논술에서 미적분이 차지하는 비중이 크다는 얘기가 되겠다. 

실제 기출문제를 통해 수리논술에서 자주 출제되는 단원이 어떤 단원이 있는지 살펴보자. 2014학년도 주요 5개 대학의 기출문제들은 아래와 같은 단원에서 출제되었다.

참고로 각각의 개념들이 다른 문제에서 출제된 것이 아니라 한 문제에서 여러 개념들을 접목한 전형적인 수리논술 문제의 특징인 혼합형 문제가 출제된 것이다. 보다시피 모든 대학에서 한 문제도 빠지지 않고 미분과 적분에 관련된 내용이 나왔고, 이를 이용해야만 푸는 문제들이 출제되었음을 확인할 수 있다. 

<보기>

그렇다면 학생들이 평소에 공부하는 수능, 내신형 문제와 수리논술이 어떻게 다른지 실제 기출문제를 통해 알아보자. 수리논술에서 가장 중요한 미분과 적분에 대한 대표적인 문제를 풀어보면서, 어떻게 접근하고 풀어가는지에 대해 한번 알아보자.

〈기출문제〉는 2014년도 성균관대 모의논술에 출제됐던 문제로 고등학교 교과서에 나와 있는 내용이었다. 이른바 ‘학교 수업만 충실히 듣고, 교과서 위주로 공부해도 풀 수 있는’ 문제가 출제된 것이다. 하지만, 많은 학생들이 문제를 보고 어떻게 답안을 작성해야 하는지를 고민하다가 실수를 하거나, 충분히 풀 수 있는 문제임에도 제대로 풀지 못하곤 한다.

수리논술의 원칙은 제시문에 나와 있는 정의를 그대로 사용하라는 것이다.

1∼4번 문제에서는 ‘미분가능’, ‘도함수’, ‘연속’을 구하라고 나와 있다. 그런데, 이 단어들의 정의는 제시문에 모두 나와 있다. 제시문 〈1〉에는 연속의 정의가 나와 있고, 제시문 〈2〉에는 미분가능의 정의가, 제시문 〈3〉에는 도함수의 정의가 나와 있다. 따라서 우리가 1∼4번 문제를 풀 때는 제시문에 나와 있는 정의를 그대로 사용해야 한다. 그것이 출제자가 학생들에게 의도했던 풀이 방법이기 때문이다.

1번 문제에서 주어진 함수의 미분가능을 보이라고 했다. 미분가능이라는 것은 예(1)이 존재한다는 것이라고 제시문 〈2〉에 나와 있다. 극한값이 존재한다는 것은 우극한 값과 좌극한 값이 같다는 것이다. 제시문 〈4〉에 주어진 함수 f(x)는 절대값 x를 포함하고 있으므로 x가 0 이상일 때와 x가 0보다 작을 때로 나누어 구할 수 있다. 이것을 이용하면 비교적 쉽게 풀 수 있겠다. 나머지 세 문제 역시 제시문의 정의를 그대로 이용해서 해결할 수 있다.

수리논술에서 미적분은 단골 출제 단원이다. 시험 준비 기간이 부족한 학생이라면 미적분부터 공부하자. 사진은 지난해 한 대학교의 논술고사 실시 장면.
세계일보 자료사진

지면 관계상 1번 문제만 풀어보면 아래와 같다.

f(x)=x2(x≥0)

f(x)=-x2(x〈0)

이고, f(0)=0이라는 것을 이용하여 x=0에서 함수 f(x)의 우미분계수와 좌미분계수값을 각각 구하면 <보기>와 같다.

예(3)

조홍재 아토즈 논술 수리논술 강사

좌극한 값과 우극한 값이 같으므로 예(3)으로 존재하고, 따라서 함수 f(x)는 x=0에서 미분가능하다.

이 문제에서 출제자는 미분을 단지 계산하는 방법만으로 알고 계산은 잘하지만 정작 그 정의에 대한 이해나 그를 통한 응용을 하지 못하는 학생들을 찾아내려고 한 것이다. 연속, 미분의 정의에 대해 이해하려고 했던 학생들은 큰 문제없이 잘 해결했을 것이다. 평소에 잘 이해하지 못했던 친구들도 제시문에 나와 있는 내용만 그대로 이용했다면 쉽게 풀 수 있었을 것이다.

수리 논술문제는 어렵게 출제가 될 때도 있지만, 의외로 누구나 알고 있는, 하지만 중요하지 않다고 생각하여 간과했던 ‘중요한 기본적인 개념’을 이용하거나 응용하여 출제되는 경우도 상당히 많다.

따라서 수리논술을 준비하는 학생들은 교과서나 문제집에 나와 있는 개념들이 어떤 의미를 지니는지 정의 위주로 잘 생각해보면서 복습을 한다면, 반드시 수리 논술 실전에 큰 도움이 될 것이다.

조홍재 아토즈 논술 수리논술 강사